L'essence des fonctions trigonométriques des angles aigus est une fonction de la « proportion des longueurs des côtés » en fonction de la « taille de l'angle » dans un triangle rectangle. Son raisonnement fondamental repose sur la propriété des triangles semblables : tant qu'un angle aigu ∠A est fixé, le rapport entre les côtés correspondants reste constant, quelle que soit la taille du triangle rectangle.triangles semblablesla propriété : aussi longtemps qu'un angle aigu ∠A est donné, le rapport entre les côtés correspondants reste inchangé, quelle que soit la taille du triangle rectangle. Cette « stabilité des proportions » permet de passer de la « forme géométrique » à la « valeur algébrique ».
Système fondamental des formules
Dans le triangle rectangle $Rt\triangle ABC$, pour un angle aigu $A$ déterminé :
- Sinus (Sine): $\sin A = \frac{\text{le côté opposé à } \angle A}{\text{l'hypoténuse}} = \frac{a}{c}$
- Cosinus (Cosine): $\cos A = \frac{\text{le côté adjacent à } \angle A}{\text{l'hypoténuse}} = \frac{b}{c}$
- Tangente (Tangent): $\tan A = \frac{\text{le côté opposé à } \angle A}{\text{le côté adjacent à } \angle A} = \frac{a}{b}$
Exemple 2 : Démonstration
Dans le triangle rectangle $Rt\triangle ABC$, $\angle C=90^\circ$, $AB=10$, $BC=6$.
1. Identifier les côtés : le côté opposé $a=6$, l'hypoténuse $c=10$.
2. Appliquer le théorème de Pythagore pour trouver le côté adjacent : $b = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$.
3. Calculer les rapports :
$\sin A = \frac{6}{10} = 0.6$ ;
$\cos A = \frac{8}{10} = 0.8$ ;
$\tan A = \frac{6}{8} = 0.75$.
🎯 Résumé logique fondamental
Définition : Quelle que soit la taille du triangle rectangle $Rt\triangle ABC$, dès lors qu'un angle aigu $A$ est donné, les rapports entre les côtés de $\angle A$ sont déterminés. Lorsque A et B sont tous deux des angles aigus, si A ≠ B, alors sin A ≠ sin B, cos A ≠ cos B, tan A ≠ tan B. Cela signifie que la valeur de la fonction est strictement liée à la mesure de l'angle.